Zusammenhang zwischen Zählwerkanzeige und Bandspielzeit

Ziel der folgenden Überlegungen ist die Herleitung einer Möglichkeit zur Ermittlung von abgelaufener und noch verfügbarer Bandspielzeit bei Tonbandgeräten, Kassettenrekordern und Videorekordern aufgrund der Zählwerkanzeige. Zwei Messgrössen sind zueinander proportional, wenn eine durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor aus der anderen berechenbar ist. Man spricht dann auch von einem linearen Zusammenhang. Aufgrund der konstanten Bandgeschwindigkeit ist die Spielzeit eines Bandes proportional zu seiner Länge. Aufgrund der konstanten Banddicke ist die Länge eines Bandes proportional zur Fläche seiner Oberkante. Also ist die Spielzeit proportional zum Flächeninhalt der Bandoberkante.

Das Band erzeugt beim Aufwickeln auf die leere Spule den sogenannten Bandwickel. Blicken wir auf den Bandwickel, so erscheint er uns als Kreisringfläche. Der Inhalt dieser Ringfläche entspricht dem Flächeninhalt der Oberkante des aufgewickelten Bandes.

Ergebnis 1: Die Spielzeit des abgelaufenen Bandes ist proportional zum Flächeninhalt des Bandwickels auf der Aufwickelspule.

Voraussetzung: Das Zählwerk ist linear an die Aufwickelspule gekoppelt und wird am Bandanfang auf Null gestellt. Dann ist die Zählwerkanzeige proportional zur Anzahl der Umdrehungen, die die Aufwickelspule seit dem Starten des Bandes vollzogen hat. Die Anzahl der Umdrehungen der Aufwickelspule ist wiederum proportional zur Dicke des Bandwickels.

Ergebnis 2: Die Zählwerkanzeige ist proportional zur Dicke des Bandwickels.

Der Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Dicke einer Ringfläche ist quadratisch, d.h. durch ein Polynom 2. Grades beschreibbar.

Ergebnis 3: Die Spielzeit des abgelaufenen Bandes t_abg(n) ist durch folgende Formel aus der Zählwerkanzeige n berechenbar:

t_abg(n) = a n ² + b n + c

Zur exakten Festlegung der Formel müssen wir nun die 3 Koeffizienten a, b und c bestimmen. Danach können wir durch Einsetzen des Zählwerkwertes n sofort die abgelaufene Spielzeit t(n) berechnen. Die 3 Koeffizienten sind abhängig von gewählter Längeneinheit, Zeiteinheit, Bandgeschwindigkeit, Banddicke, Kerndurchmesser der Leerspule und Antrieb des Zählwerks durch die Aufwickelspule (Übersetzungsverhältnis). Wir könnten nun all diese Größen messen, weitere Formeln aufstellen und so a, b und c exakt ermitteln. Besonders beim Messen der Banddicke treten aber sehr leicht Messfehler auf, die die Formel stark verfälschen würden. Glücklicherweise geht es einfacher und robuster: Wenn drei verschiedene Wertepaare des Polynoms bekannt sind, also 3 Paare

(n₀,t₀), (n₁, t₁), (n₂, t₂)

von je einer Zählwerkanzeige n_i und zugehöriger Bandspielzeit t_i können wir daraus die gesuchten Koeffizienten a, b und c berechnen. Aufgrund obiger Voraussetzung ist bei Zählwerkanzeige 0 die abgelaufene Spielzeit auch 0.

Somit haben wir schon ein erstes Paar gefunden, nämlich (n₀,t₀) = (0, 0), woraus c = 0 folgt.

Wir müssen nun nur noch 2 weitere Wertepaare (n₁, t₁) und (n₂, t₂) ermitteln, um die Koeffizienten a und b zu bestimmen. Streng mathematisch ist es egal, an welchen Bandstellen wir unsere Wertepaare messen. Bei exakten Messungen erhalten wir stets dieselben Ergebnisse für a und b. Um aber den Einfluss der Messfehler möglichst klein zu halten, sollte ein Messwert ungefähr in der Bandmitte, der andere am Bandende liegen. Ich will hier die Formeln nicht im einzelnen herleiten und gebe nur das Ergebnis an.

Spielzeit t_abg(n) des abgelaufenen Bandes bei Zählwerkanzeige n:

t_abg(n) = a n² + b n

mit

a = (t₂ n₁ – t₁ n₂) / (n₁ n₂ (n₂ – n₁))

b = (t₁ n₂² – t₂ n₁²) / (n₁ n₂ (n₂ – n₁))

Vor den Messungen müssen wir uns für eine Zeiteinheit entscheiden. Die Formel liefert die Spielzeiten dann ebenfalls in dieser Zeiteinheit. Ich empfehle als Zeiteinheit die Sekunde.

Thomas Winter, September 2000, eMail: eis-winter@t-online.de, Homepage: www.eis-winter.de

Veröffentlichung mit freundlicher Genehmigung von Thomas Winter.